S-parametre: popis, definícia a meranie

 Úvod

Tento článok o S-parametroch otvára seriál článkov venovaných témam z oblasti vysokofrekvenčnej techniky a elektromagnetického poľa. Mojou snahou bude poskytnúť v seriáli čitateľovi okrem nevyhnutnej teórie hlavne pohľad na praktickú stránku návrhu vysokofrekvenčných obvodov s využitím simulačných programov a moderných meracích zariadení.

S-parametre sa využívajú na popis lineárnych, časovo nemeniacich sa obvodov. Oproti ostatným, možno známejším typom parametrov, však majú viaceré výhody, ktoré im dávajú dominantné postavenie pri návrhu, meraní a popise vysokofrekvenčných obvodov. Prečo je to tak, si opíšeme v nasledujúcej kapitole.

Prečo práve S-parametre?

Medzi najznámejšie modely v elektronike patria impedančné modely opísané Z-parametrami, admitančné modely popísané Y-parametrami alebo hybridné modely opísané H-parametrami. V rýchlosti sa pozrime na sústavu rovníc opisujúcich obvody pomocou H-parametrov z ktorých neskôr odvodíme S-parametre.

čo možno v maticovom tvare napísať ako

Jednotlivé členy matice hij získavame najčastejšie meraním obvodu za presne definovaných podmienok. Z definície h21 a h11 vyplýva, že na ich presné odmeranie musíme uviesť výstup obvodu do stavu nakrátko (V2 = 0). Analogicky, h12 a h22 meriame pri vstupe obvodu v stave naprázdno (I1 = 0).

A práve táto požiadavka uvedenia obvodu do stavu naprázdno, resp. nakrátko, je prvou z hlavných príčin, prečo nemôžeme využiť Z-, Y- ani H-parametre vo vysokofrekvenčnej oblasti. V tomto prípade nám v tom bránia 2 veci.

Tou prvou je skutočnosť, že so zvyšujúcou sa frekvenciou signálu je v dôsledku parazitných kapacít čoraz náročnejšie uviesť svorky obvodu do stavu naprázdno. A rovnako parazitná indukčnosť nám viac a viac bráni dosiahnuť na obvode stav nakrátko. Ako príklad si môžeme uviesť nasledujúcu situáciu. Predstavme si, že máme na výstupe obvodu, ktorý chceme uviesť do stavu naprázdno, iba plôšku pre SMD súčiastku veľkosti 1206. Obvod máme osadený na doske plošného spoja z materiálu FR-4 hrúbky 10 mil, s uzemnenou spodnou vrstvou (pozrite obr. 1).

Obr. 1 SMD súčiastka na doske plošného spoja

Pri rozmere plôšky 60 × 80 mil bude každý pad predstavovať kapacitu voči zemi ~ 0,5 pF. V pásme audio frekvencií to zodpovedá reaktancii ~ 500 MΩ, čo môžeme vo väčšine prípadov zanedbať. Ak by sme však daný obvod merali vo frekvenčnom pásme okolo 1 GHz, obvod by bol zaťažovaný reaktanciou ~ 300 Ω, čo už v žiadnom prípade nemôžeme považovať za stav naprázdno.

Druhou nepríjemnosťou súvisiacou so stavom naprázdno/nakrátko je to, že veľa aktívnych súčiastok je navrhovaných na prácu do určitej impedancie, a ak by sme ich vstup či výstup skratovali alebo nechali nezaťažený, mohlo by to viesť k ich rozkmitaniu alebo v horšom prípade dokonca k zničeniu.

Okrem predchádzajúcich vecí si treba uvedomiť, že pri zvyšovaní frekvencie signálu sa postupne dostávame do stavu, keď rozmery samotných súčiastok alebo častí obvodu začínajú byť porovnateľné s dĺžkou vlny zodpovedajúcej danej frekvencii. To potom vedie k úplne odlišnému prístupu k problematike návrhu a merania takýchto obvodov. Jedným z dôsledkov je aj to, že na každý prepoj, či už je to vodič na doske plošného spoja, koaxiálny kábel alebo vlnovod, sa treba pozerať ako na vedenie, ktoré svojimi vlastnosťami ovplyvňuje napäťové a prúdové pomery v obvode. V takomto prostredí je potom veľmi ťažké presne odmerať veľkosti napätí a prúdov v jednotlivých častiach obvodu.

Všetky spomínané nepríjemnosti nútili vývojárov zamyslieť sa nad iným spôsobom, ako efektívne charakterizovať vf obvody, a tak zaviedli S-parametre, ktoré sa oveľa viac hodia na popis obvodov v pásme vysokých frekvencií. No skôr, ako sa dostaneme k samotnej definícii S-parametrov, potrebujeme si v krátkosti objasniť správanie sa signálu na vedení.

Teória vedenia

Ako bolo spomenuté v predchádzajúcom odseku, za vedenie považujeme každý prepoj, ktorého rozmery sú porovnateľné s dĺžkou vlny signálu, ktorý sa ním šíri. Hlavným parametrom vedenia je jeho charakteristická impedancia daná jeho rozmermi a materiálom, z ktorého je vytvorené. Vysokofrekvenčné aplikácie najčastejšie využívajú vedenia s charakteristickou impedanciou 50 Ω (aj keď sa často používajú aj iné hodnoty ako 75 Ω, 90 Ω...).

Obr. 2 Šírenie elektromagnetickej vlny po vedení	Obr. 3 Pripojenie 2-portového obvod k zdroju vf signálu a záťaži

Keď k takémuto vedeniu privedieme zdroj vf signálu, začne sa smerom k záťaži šíriť elektromagnetická vlna (pozrite obr. 2). Táto vlna je pre nás akousi analógiou k napätiu, prúdu a výkonu, na ktoré sme zvyknutí pri analýze nízkofrekvenčných a jednosmerných obvodov.

Ako vlna dorazí na koniec vedenia, v závislosti od parametrov vedenia a impedancie záťaže ZL sa časť vlny zo záťaže odrazí a začne šíriť naspäť k zdroju signálu. Tu sa opäť (tentoraz v závislosti od impedancie zdroja ZS) časť vlny odrazí a celý proces sa opakuje. V konečnom dôsledku je signál v každom mieste na vedení zložený z okamžitých hodnôt vlny vysielanej zo zdroja signálu a od razených vĺn. Pri neprispôsobených vedeniach toto vedie k vzniku tzv. stojatých vĺn, keď amplitúda napätia závisí od miesta na vedení.

Vo väčšine aplikácii sa snažíme zabezpečiť, aby sa čo najväčší výkon zo zdroja dostal až do záťaže, t. j. aby nedochádzalo k veľkým odrazom či už na vstupe (odrazy od zdroja), alebo výstupe (odrazy zo záťaže).

Koeficient odrazu na záťaži ΓL a zdroji ΓS definujeme ako

kde ZO je charakteristická impedancia vedenia, ZL a ZS sú impedancie zdroja, resp. záťaže.

Z hore uvedených vzťahov vyplýva, že čím viac sa približujú hodnoty impedancií zdroja a záťaže k charakteristickej impedancii vedenia, tým menej výkonu sa odrazí a teda tým viac výkonu sa prenesie až do záťaže.

Odvodenie S-parametrov

Po krátkom opise šírenia signálu po vedení môžeme pristúpiť k samotnému odvodeniu S-parametrov.

Skúsme vložiť 2-portový obvod medzi dve vedenia, na ktoré z jednej strany pripojíme zdroj vf signálu a z druhej záťaž.

Výsledkom budú šíriace sa vlny, ktoré spolu navzájom úzko súvisia, resp. sú navzájom prepojené. Vlna Er2 bude tvorená súčtom časti vlny Ei1 prechádzajúcej obvodom z jeho vstupu a časti vlny Ei2, ktorá sa odrazila z výstupného portu. Podobne Er1 bude zložená z častí vĺn Ei1 a Ei2 atď.

Na parametrické vyjadrenie týchto vzťahov využijeme vyššie spomenuté H-parametre, pričom na základe opísaného správania sa vĺn na vedení môžeme hodnoty napätí a prúdov nahradiť nasledujúcimi vzťahmi:

a po krátkej úprave dostaneme rovnice

Komplexné funkcie f11, f12, f21, f22 reprezentujú nový súbor parametrov opisujúcich vzťahy medzi šíriacimi sa vlnami. Z anglického názvu scattering (čo by sa dalo preložiť ako rozptylové) dostali potom tieto parametre označenie ako S-parametre.

Aby sme sa posunuli ešte o krok ďalej, môžeme vydeliť obe strany rovnice √ZO a definovať nové premenné:

Premenné a1, resp. a2, predstavujú vlny smerujúce do obvodu, či už zo vstupu, alebo výstupu, a premenné b1 a b2 predstavujú vlny z obvodu vychádzajúce. Všimnime si, že druhé mocniny týchto premenných majú rozmery výkonu, avšak samotné členy S-matice sú bezrozmerné komplexné čísla.

Obr. 4 Popis vf obvodu S-parametrami

Týmto dostávame sériu rovníc, ktoré plne charakterizujú lineárny, časovo nemenný obvod vo frekvenčnej oblasti (pozrite obr. 4).

Definícia a meranie S-parametrov

Parameter S11 nazývame koeficient odrazu na vstupe obvodu a definujeme ho ako pomer odrazenej vlny k dopadajúcej vlne na vstupe obvodu.

Podmienku a2 = 0 dosiahneme zakončením výstupného portu charakteristickou impedanciou vedenia, pretože pri takomto prispôsobení vedenia sa celá vlna putujúca obvodom zo vstupu na výstup absorbuje v záťaži.

Pri rovnakých podmienkach vieme merať aj prenos obvodu v priamom smere, ktorý je charakterizovaný parametrom S21.

Kým absolútna hodnota parametra S11 je s výnimkou oscilátorov a obvodov so zápornou vstupnou impedanciou vždy menšia ako 1, absolútna hodnota S21 môže dosahovať akékoľvek hodnoty a predstavuje zisk zosilňovačov alebo útlm pasívneho obvodu.

Analogicky zakončením vstupného portu charakteristickou impedanciou vedenia dosiahneme podmienku a1 = 0, pri ktorej meriame zostávajúce 2 parametre, a to koeficient odrazu na výstupe obvodu S22 a prenos v spätnom smere S12.

V praxi sa S-parametre najčastejšie merajú pomocou obvodových analyzátorov známych pod anglickým názvom Vector Network analyzer. Veľkou výhodou týchto zariadení je, že sú schopné merať a uložiť všetky 4 členy matice naraz, a to vo formáte, ktorý je možné priamo použiť v simulačných programoch. A tak S-parametre veľmi efektívne prepájajú reálne merania so simuláciami. Tabuľka 1 ilustruje príklad súboru S-parametrov uloženého v TOUCHSTONE formáte.

Tabuľka 1 Súbor S-parametrov v TOUCHSTONE formáte