Implementace čítačů v číslicových systémech 2

Úvod

V předchozím článku byly shrnuty základní vlastnosti čítačů, implementace a výhody a nevýhody binárního a Johnsonova čítače. V tomto příspěvku se budeme dále zabývat synchronní implementací čítače v Grayově kódu, kódu 1 z N a LFSR čítače. Poslední část, připravovaná do příštího čísla, bude potom věnována implementaci asynchronního čítače (ripple counteru) a shrnutí parametrů předvedených konstrukcí.

V celém textu označujeme počet registrů udržujících stav čítače jako N, počet stavů jako Ns. Jako fclk_max označujeme maximální dosažitelnou pracovní frekvenci čítače, Tclk_ min=1/fclk_max je pak minimální perioda hodinového cyklu.

Zkratkou MHVS budeme označovat maximální počet současně se měnících bitů na sběrnici na výstupu čítače – maximální Hammingovu vzdálenost dvou sousedních stavů čítače.

Grayův čítač

Binární čítač nemůžeme užít, potřebujeme- li vzorkovat jeho výstup hodinovým signálem asynchronním k hodinovému signálu, ze kterého běží čítač. V takovém případě by způsobilo vážné problémy to, že u binárního čítače se mohou dva sousední stavy lišit v podstatě v libovolném počtu bitů, viz obrázek 4. V levé části obrázku je zjednodušené schéma celé obvodové konfigurace. Binární čítač je řízen hodinami clk1, vzorkování je prováděno náběžnou hranou hodin clk2. Přitom hodiny clk2 jsou asynchronní k hodinám clk1. Vidíme, že při naznačeném přechodu výstupu čítače mezi hodnotami 011 a 100 můžeme navzorkovat hodnoty 011, 110 i 100. Skutečné chování přitom závisí na konkrétních vzájemných časových posunech mezi signály cnt1(0), cnt1(1) a cnt1(2).

Obr. 4 Vzorkování výstupu binárního čítače asynchronním signálem

Abychom se podobným problémům vyhnuli, je nezbytné zajistit, aby se na výstupu čítače měnil vždy jen jeden bit. Právě tuto vlastnost splňuje Grayův čítač, speciální konstrukce stavové sekvence u něj zajišťuje MHVS 1. Tato vlastnost navíc umožňuje (za dodržení dalších dodatečných podmínek) navrhnout případný následný dekodér (blok decoder v obrázku 1 z prvního dílu seriálu [1]) tak, aby na jeho výstupech nebyly žádné statické ani dynamické hazardy. Stejně jako u binárního čítače – a oproti Johnsonovu čítači – je i zde výhodou minimální počet registrů nutných pro implementaci čítače procházejícího Ns stavy, N=ceil(log2(Ns)). RTL schéma Grayova čítače lze nalézt v obrázku v příkladu 4, spolu s RTL VHDL implementací, stavová sekvence je potom v obrázku 5. Z důvodu úspory místa vynecháváme konstrukci ENTITY definující porty a generické parametry čítače. Použitá konstrukce je totožná s tou, kterou lze nalézt v příkladu 2 v předchozím dílu [1].

Obr. 5 Příklad běhu čítače, sekvence stavů je 000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100

Zřejmou nevýhodou Grayova čítače je větší plocha zabraná kombinační logikou pro generování následujícího stavu čítače; s tím souvisí i větší zpoždění v kritické cestě. Dlouhou kritickou cestu částečně odstraňuje řešení na obrázku 6 [2], ovšem za cenu většího množství registrů potřebných pro implementaci. A jako u binárního čítače, je i u Grayova čítače změna počtu stavů pomocí ECO úpravy obtížná.

Obr. 6 Implementace Grayova čítače s kratšími kritickými cestami

Použití Grayova kódu dále přináší omezení na délku stavové sekvence čítače; ta musí vždy obsahovat sudý počet stavů. V každém textu zabývajícím se kódy naleznete popis konstrukce Grayova kódu pro počet stavů Ns=2l; nicméně je možné zkonstruovat Grayův kód pro obecný sudý počet stavů, viz [3].

Příklad 4: Grayův čítač – RTL kód a schéma

Všimněte si, že v čítači je použita binární sčítačka obklopená převodníky z a do Grayova kódu. Stavový registr nicméně obsahuje hodnotu v Grayově kódu. Výstup Grayova čítače musí být řízen přímo z registru, aby se předešlo zákmitům na výstupech jež by mohly být posléze navzorkovány jako legitimní hodnoty, více viz [4], kapitola 11.

Čítač v kódu 1 z N

Čítač v kódu „1 z N“ (one-hot encoding) je implementován jak je uvedeno v příkladu 5, v obrázku 7 je potom příklad stavové sekvence. Vidíme, že je každý stav zakódovaný jako binární řetězec složený ze samých nul jen s jednou jedničkou. Délka stavu čítače je rovná počtu stavů, potřebujeme tedy N=Ns registrů. Mezi registry zde není žádná kombinační logická funkce, počáteční nastavení je zajištěno resetem obvodu a jednička pak „samovolně“ obíhá posuvným registrem.

Obr. 7 Příklad běhu čítače, sekvence stavů: 00000001, 00000010, 00000100, 00001000, 00010000, 00100000, 01000000, 10000000

Jednoznačnou nevýhodou čítače je velké množství registrů potřebných pro jeho implementaci; to může vést ke zvýšené spotřebě elektrické energie v hodinovém stromu čítače. Kódování „1 z N“ má ale i řadu výhod. Stejně jako u Johnsonova čítače je i zde velmi redukovaná kombinační logická funkce pro generování následujícího stavu, to umožňuje čítači pracovat na vyšší hodinové frekvenci, než v případě binárního či Grayova čítače. I zde jsou omezeny hazardy na výstupu případného navazujícího kombinačního detektoru, potlačení nicméně – na rozdíl od Johnsonova kódování – není absolutní, MHVS je 2. Dále je zde jednoduše možné pomocí ECO úpravy vložit do čítače další stav.

Příklad 5: „1 z N“ čítač – RTL kód a schéma

LFSR

LFSR čítač (Linear Feedback Shift Register) patří mezi poněkud exotičtější konstrukce, kterým se návrháři spíše vyhýbají (autor textu si pamatuje na několik vášnivých diskuzí o vhodnosti jeho použití i z vlastní praxe). LFSR čítače mají nicméně velké množství aplikací a jsou naprosto nepostradatelné v mnoha aplikacích počínaje kryptografií, přes vysílání v rozptýleném spektru, až po obyčejné čítače.

Příklad 6: LFSR čítač – RTL kód a schéma

LFSR je v principu posuvný registr doplněný o jedno/několik hradel XOR ve zpětné vazbě, které slouží pro generování sekvence stavů. Na rozdíl od binárního čítače LFSR o délce N bitů prochází jen Ns=2N-1 stavy, jeden stav je vždy zakázaný (00...000 pro konstrukci užívající hradel XOR, případně 11...111 pro konstrukci s hradlem XNOR). Pohledem na schéma v příkladu 6 lze snadno zjistit, že ze zakázaného stavu (zde 000) se čítač nedostane, dojde k jeho zaseknutí (lockup). U LFSR čítačů je tak nezbytné zajistit pomocí resetu vhodné počáteční podmínky (zde tedy resetovat čítač do libovolného nenulového stavu, například 111).

Příklad 6 ukazuje VHDL kód a schéma LFSR čítače procházejícího sedmi stavy, sekvence stavů je přitom zachycena v obrázku 8. Je zřejmé, že za extrémní jednoduchost bloku platíme cenu v podobě zdánlivě chaotické stavové sekvence. Poznamenejme zde, že stavová sekvence má skutečně některé vlastnosti náhodného procesu a proto jsou LFSR čítače často užívány v aplikacích, kde je třeba používat pseudonáhodná čísla. O statistických vlastnostech je možné se dozvědět více v české knize [6]. Stejně jako u Johnsonova čítače nebo čítače v kódu 1 z N je i zde kombinační logická funkce pro generování dalšího stavu velmi redukovaná. Čítač je tak relativně malý a může pracovat s vyšší fclk_max.

Obr. 8 Příklad běhu čítače, sekvence stavů 111, 011, 001, 100, 010, 101, 110. Všimněte si, že stavů je jen sedm, ne osm

Teorie vlastní konstrukce LFSR čítačů je poměrně komplexní, zájemce o detaily odkazujeme na texty [6, 7, 8], mnoho informací lze také získat prostým hledáním hesla „LFSR counter“ na vyhledávači Google.

Méně zřejmou nevýhodou konstrukce LFSR čítače je o něco větší obtížnost návrhu obecného bloku čítače. Pro jeho správnou funkci je třeba správné konfigurace zpětných vazeb v posuvném registru (vyjádřené pomocí tzv. generujícího polynomu, více viz např. [6]), přitom konfigurace je pro každou délku čítače unikátní. Tabulka 1 (převzatá z [9]) obsahuje konfigurace LFSR čítačů pro různé šířky stavového registru. Podíváme-li se na zvýrazněný řádek a srovnáme-li ho se schématem v obrázku v příkladu 6, můžeme snadno nahlédnout na to, jak je čítač navržen.

Tabulka 1 Zpětné vazby v LFSR čítačích pro různé šířky stavového registru

Závěrem poznamenejme, že případná modifikace čítače pomocí ECO úpravy nebývá obtížná.